日前，北京大学汇丰商学院长聘副教授Jaehyuk Choi的合作论文《用于定价百慕大期权的留一最小二乘蒙特卡罗算法》（“Leave-One-Out Least Squares Monte Carlo Algorithm for Pricing Bermudan Options”）在Journal of Futures Markets发表（Volume 44，Issue 8, Aug 2024 Pages 1293—1461）。论文合作者为Moduli科技有限责任公司（Moduli Technologies LLC）的Jeechul Woo和汇丰商学院2015级金融硕士（数量金融方向）校友、美国斯坦福大学管理科学与工程系博士生刘晨茹。

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▲ Journal of Futures Markets主要发表金融期货和衍生品的最新发现，其涵盖的范围包含期货、衍生品、风险管理与控制、金融工程、新金融工具、对冲策略、交易系统分析，以及法律、会计和监管问题等。2023年影响因子为1.8

具有提前行权特征的金融衍生品，如美式和百慕大期权（American and Bermudan options），在市场上很受欢迎。然而，在没有解析解的情况下，为这些期权定价一直是一个困难的问题。现有的定价方法主要分为两类：基于网格的和基于模拟的方法。

这两种方法存在明显缺点。基于网格的方法在低维问题上表现良好，但不适用于高维问题，造成“维度灾难”。基于模拟的方法，如最小二乘蒙特卡罗（LSM）算法，可以处理高维问题，但LSM估计器存在“前视误差”（Look-ahead Bias）的问题。这种误差会导致算法在某些情况下高估期权的价值，带来虚假的正相关，误导投资者。为了避免这种误差，通常需要增大样本量，这会增加计算成本。

Jaehyuk Choi的这篇合作论文提出了一种新算法，称为“留一最小二乘蒙特卡罗算法”（LOOLSM），可以在不增加额外计算成本的情况下消除“前视误差”。LOOLSM算法的灵感来自统计学习中的交叉验证技术，特别是留一交叉验证（LOOCV）。在LOOCV中，每次训练模型时，都会将一个样本从数据集中排除，以避免过拟合。在LOOLSM中，每个模拟路径在回归时都会被排除，以确保其对期权价值估计没有不当影响。

研究结果表明，LOOLSM方法成功消除了LSM方法中的“前视误差”，而且其计算成本并未显著增加。此外，研究还证明了“前视误差”与回归变量和模拟路径的比例成正比，这意味着当模拟路径数增加时，误差会减小。

为验证这一方法，论文研究中使用了多种期权示例，发现LSM算法在这些示例中确实高估了期权价值，而LOOLSM方法在消除这种误差方面表现出色。LOOLSM方法还可以扩展到其它基于回归的算法，进一步提高LSM方法的准确性和实用性。

Jaehyuk Choi，北京大学汇丰商学院长聘副教授，美国麻省理工学院应用数学博士，主要研究领域为定量金融、数学模型、数值方法、数据科学。近年来，研究成果发表于Journal of Futures Markets, European Journal of Operational Research, Mathematical Finance, Journal of Forecasting, Quantitative Finance, Journal of Economic Dynamics and Control等期刊。