近日，上海交通大学廖世俊教授在 《Theoretical and Mathematical Physics》 上发表独著论文[1]（https://link.springer.com/article/10.1134/S0040577926080039），给出了二维不可压缩柯尔莫哥洛夫流“空间对称性不变定理”（Spatial Symmetry Invariance Theorem，简称 SSIT）的严格数学证明。该文俄文版亦同期在俄罗斯出版发行。

核心成果：SSIT 定理揭示了什么？

Navier-Stokes（NS）方程是描述流体层流和湍流流动的著名数学模型。湍流具有混沌性质，其精确解至今无法获的。廖世俊教授证明的 SSIT 定理 为 NS 方程时空轨迹的长期（long-term）性质提供了一个可靠理论。

SSIT 核心结论：在特定条件（如不可压缩流动、周期边界条件、定常外力且外力与初始条件具有相同空间对称性等）下，NS 方程的精确解永远保持与初始条件相同的空间对称性。

SSIT揭示了NS方程一个颠覆传统认知的奇妙性质：虽然湍流在固定空间点的时域分布上极其紊乱和随机，但在任意时刻的空间分布上，却可以始终保持与初始条件完全一致的空间对称性。SSIT揭示了特定条件下NS湍流在时间分布和空间分布上的巨大差异。

对NS湍流研究的影响

1. SSIT提供了检验数值解的全新标准（挑战传统 DNS 的“标准解”地位）

• 传统观点： NS湍流直接数值模拟（DNS）几十年来被学术界广泛作为湍流研究的“标准解”（benchmark solution）。

• SSIT 与DNS对比： 传统 DNS 计算在刚开始很短时间内能保持空间对称性，但很快就彻底丧失空间对称性（见图1）。

• 原因分析： 数值计算都不可避免地存在随机数值噪音。而NS 湍流是混沌系统，其微小的随机数值噪音由于混沌系统的“蝴蝶效应”被迅速放大到宏观层面，摧毁空间对称性，导致 DNS 的轨迹、甚至（在特定条件下的）统计结果都显著偏离精确解。

2. “洁净数值模拟”（CNS）验证了SSIT的正确性

廖世俊教授于 2009 年提出的“洁净数值模拟”（CNS）可将数值噪音降至远低于传统 DNS 的水平。

• SSIT与CNS对比：CNS 在足够长的时间内能始终保持与初始条件相同的空间对称性，完美吻合 SSIT 数学定理。

• 原因分析：CNS 能够提供NS湍流足够长时域内准确、可靠的数值模拟。

3. 基于SSIT的理论推演和新视角

基于 SSIT 定理进行的逻辑推理，可为NS湍流研究提供新概念、新视角：

• NS湍流具有“超混沌”（Ultra-chaos）性质： 微小干扰不仅改变其轨迹，甚至会改变其宏观统计特性 [2]。

• NS湍流具有“噪音暴涨级联”（Noise-expansion cascade）现象：各个量级的微小扰动都会不可阻挡地传递到宏观层面，都可能改变NS湍流的宏观性质 [3]。

图1: （具有空间对称性初始条件的）二维Kolmogorov湍流DNS与CNS之比较[4]

开放性问题

根据Halmos-Ford 奖获得者R.M. Corless的观点[5]，物理湍流、NS方程以及NS方程的数值解，是NS湍流研究三种完全不同层次的“抽象”（abstraction），彼此并非一定具有共同的特性。一方面，初始条件具有空间对称性的NS湍流之DNS结果，不仅其时空轨迹迅速丧失空间对称性，违背该文证明的SSIT定理，显著偏离其精确解，而且在特定条件下甚至其统计结果也偏离精确解。另一方面，应用该文证明的SSIT定理，可以进一步检验NS方程能否较好地描述真实物理湍流。例如，该文证明的SSIT定理与有关DNS湍流模拟对比表明，微小干扰（例如数值噪音）会迅速污染NS湍流的时空轨迹、甚至可能对NS湍流宏观统计结果产生巨大影响。但传统上广泛采用的（确定性）NS方程却假设所有微小干扰都可以忽略不计。这在理论上导致NS湍流一个逻辑上的悖论[5]。更重要的是，现实世界各种微小的环境（物理）干扰无法避免。DNS结果违背数学定理SSIT这个事实，激发湍流学者深入思考如下开放性问题（open questions）：

• NS方程的初始条件是否必须具有空间随机性？

• 确定性的NS方程是否应该被随机的NS方程替代？

• 数值噪音是否本质上等同于微小的随机物理干扰 [7]？

SSIT定理的科学意义

1.   SSIT为检验NS方程数值解的正确性提供了一个数学标尺。

2.   基于DNS结果违背数学定理SSIT这个事实，人们有理由质疑DNS作为NS方程“准确基”（benchmark solution）的绝对权威地位。

3.   基于DNS结果违背数学定理SSIT这个事实，人们有理由质疑确定性NS方程忽略微小干扰这个基本假设的合理性。

参考文献

1. Shijun Liao, “Mathematical proof of spatial symmetry  invariance of two-dimensional Kolmogorov flow”, Theoretical and Mathematical Physics (2026) 228 (2), 1304-1314. [PDF 链接]

2. Shijie Qin, Kun Xu and Shijun Liao, “Ultra-chaotic property of Navier–Stokes turbulence”, European Journal of Mechanics / B Fluids (2026) 119: 204540. [PDF链接]

3. Shijun Liao and Shijie Qin, “Noise-expansion cascade: an origin of randomness of turbulence”, J. Fluid Mech. (2025) vol.1009, A2. [PDF 链接]

4. Shijie Qin, Yu Yang, Yongxiang Huang, Xinyu Mei, Lipo Wang, Shijun Liao, “Is a direct numerical simulation (DNS) of Navier-Stokes equations with small enough grid spacing and time-step definitely reliable/correct?”, Journal of Ocean Engineering and Science. (2024) 9:293-310 [ PDF链接]

5. R.M. Corless, “What good are numerical simulations of chaotic dynamic systems”, Computers Math. Applic. (1994) 28 (10-12), 107-121.

6. Shijie Qin, Kun Xu and Shijun Liao, “A paradox of the Navier-Stokes turbulence”, arXiv:2510.11220. [DOI 链接]

7. Shijun Liao and Shijie Qin, “Physical significance of artificial numerical noise of DNS for turbulence”, J. Fluid Mech. (2025) vol. 1008, R2. [PDF 链接]

作者简介

廖世俊博士，上海交大讲席教授，“海洋工程全国重点实验室”主任，上海市力学学会理事长。他1992年原创性提出求解强非线性问题的“同伦分析方法”，克服了传统方法依赖物理小参数、级数解常常发散之局限性，为强非线性问题提供了一个全新的、灵活而通用的解析近似方法。他2009年原创性提出求解混沌系统的“洁净数值模拟”(Clean Numerical Simulation, CNS)，为混沌系统和湍流提供了首个可靠的、长时域模拟工具。他撰写了三本英文专著，其论著被SCI检索他引14110次，曾荣获“国家自然科学二等奖”（1/1）、上海市自然科学一等奖（1/1），“上海市自然科学牡丹奖”、“上海市科技精英”称号，2023年获英国普利茅斯大学荣誉博士学位。

作者： 船舶海洋与建筑工程学院 供稿单位： 船舶海洋与建筑工程学院