物理世界中的许多现象，例如气体扩散、流体运动，都是微观粒子行为的宏观表现，可以通过数学建模严格地进行理论推导。但在现实的微观世界中，粒子是否真的会遵循某个“标准”公式而运动？又或是，无论如何建模，即使微观机理出现了一些微扰，宏观测量仍旧符合普适的规律？

近日，清华大学丘成桐数学科学中心顾陈琳助理教授团队合作在粒子系统宏观研究领域取得重要突破，研究成果以“非梯度排他过程的定量均质化与流体力学极限”（Quantitative Homogenization and Hydrodynamic Limit of Nongradient Exclusion Process）为题，于1月31日发表于《理论与应用数学通讯》（Communications on Pure and Applied Mathematics，CPAM）。

论文对一大类格点上的粒子系统展开讨论，证明了其宏观行为由统一的流体力学极限方程刻画，并首次给出了这类一般粒子系统到极限的收敛速度。论文将斯科特·阿姆斯特朗（Scott Armstrong）、图奥莫·库西（Tuomo Kuusi）、让-克里斯托夫·穆拉（Jean-Christophe Mourrat）与查尔斯·斯马特（Charles Smart）发展的重整化方法（renormalization）运用于这类粒子系统，首先证明了宏观物理量扩散率的均质化（homogenization），之后，结论被加强到正则系综，从而和经典的相对熵方法（relative entropy）相契合。

研究过程中，研究团队面临的主要挑战是格点上粒子数的硬核约束。均质化理论指向一个常系数的拉普拉斯（Laplace）算子，但即便微观机理最简单的常数率对称排他过程，其生成元的正则性也和Laplace算子有所区别。为此，论文结合了计算数学中的“粗粒化”方法，以及代数拓扑中“映射提升”的思想，提出了“粗粒化-映射提升”（coarse-grained lifting）的概念，利用更大空间中的自由粒子来表示排他过程中的泛函，由此克服粒子互斥、维数灾难等核心难点。值得一提的是，即使当粒子交互作用中存在无序（disorder）扰动，研究团队发展出的新方法同样适用，由此揭示了物理现象的普适性。

排他过程（图左）与无粒子数约束的自由粒子（图右）示意图；后者到前者存在自然的映射提升

清华大学丘成桐数学科学中心助理教授顾陈琳为论文通讯作者，求真书院首届“数学领军计划”学生王涵（2025进入研究生阶段学习）、北京雁栖湖应用数学研究院研究员舟木直久（Tadahisa Funaki）与顾陈琳为论文共同作者。