近日，清华大学物理系刘永椿副教授等人在非厄米系统中发现了增益-耗散诱导的杂化趋肤-拓扑效应，以及拓扑趋肤模式之间的宇称-时间相变。

非厄米系统是指可以用非厄米哈密顿量描述的开放系统。非厄米系统具有许多不同于厄米系统的新奇性质，其中一个重要表现是非厄米趋肤效应。该效应使得拓扑系统的所有本征态（包括体态和边界态）都局域到系统的一侧边界上，同时传统体边对应关系不再成立。非厄米系统的实现主要包括两种方式，一是利用非互易耦合，二是利用增益-耗散。对于非互易耦合情况，非厄米来源于格点之间相互作用的非厄米性，格点之间的能量交换是非对称的，因此能够产生沿着一个方向的净能量流动，最终聚集到边界上，从而表现出趋肤效应。对于增益-耗散情况，非厄米来源于每个格点各自的增益耗散，相当于给每个格点增加了一个虚的在位能，这种非厄米并不一定会表现出趋肤效应。在实际物理系统中，非互易耦合通常难于实现，而耗散是普遍存在的，不均匀的耗散分布也可等效成增益-耗散情况。因此，在增益-耗散非厄米系统中研究趋肤效应具有重要意义。

该工作发现基于增益-耗散能够在二维系统中实现杂化趋肤-拓扑效应（hybrid skin-topological effect）。在这种效应中，系统本征态的趋肤行为具有选择性，使得体态和边界态具有不同的表现。体态不受趋肤效应的影响，仍保持为弥散分布，而边界态则受到趋肤效应的影响，会局域到一侧边界上。这种趋肤效应与拓扑效应的杂化现象展示了非厄米拓扑系统的独特性质，这在单纯的厄米或非拓扑系统中是不存在的。作为具体例子，该工作考虑了具有增益-耗散的非厄米Haldane模型（图1a）。Haldane模型通过引入局域磁通得到拓扑边界态，是凝聚态物理中实现量子反常霍尔效应的两种重要模型之一。该工作发现如果在Haldane模型的相邻格点中引入交替的增益和耗散，则系统的拓扑边界模式会发生趋肤效应局域到角上，而体态模式则不受影响，因此表现出杂化的拓扑趋肤效应。通过单独分析边界处的格点，团队发现这种二阶趋肤效应可以简化为边界上的一阶趋肤效应。在简化的一维模型中，由于次近邻耦合引入了非局域的磁通，导致了手性边界流的产生，可等效成非互易耦合，因此能够产生一阶趋肤效应（图1b-c）。与此同时，在系统内部非边界处只存在局域磁通，磁通带来的非互易耦合特性相互抵消，因此体态模式不受趋肤效应影响。通过调节系统增益-耗散参数，可改变手性边界流的方向，从而调控拓扑趋肤效应的方向（图1d-f）。

图1.模型图和典型结果。（a）为模型图，考虑非厄米Haldane模型，对应具有次近邻耦合的六角蜂窝晶格，其中红（蓝）色格点表示带有增益（耗散）。（b）为单独考虑系统锯齿（zigzag）边的模型图。（c）为与（b）对应的本征模式分布，显示所有模式都向右趋肤。（d）-（f）为六边形边界情况取不同增益耗散参数时拓扑边界模式的分布，其中（d）γ<0，（e）γ=0，（f）γ>0

该工作进一步得到了系统的宇称-时间（parity-time，简称PT）对称性与杂化趋肤-拓扑效应的对应关系。在不同方向分别取开边界和周期边界条件时，对于不同的边界，系统具有不同的PT对称性。全局PT对称性（两个边界互相对称），会导致杂化趋肤-拓扑效应的消失，而局域PT对称性（元胞中不同格点互相对称）则可以支持杂化趋肤-拓扑效应的存在。因此，对系统PT对称性的分析为判断杂化趋肤-拓扑效应是否存在提供了简便而有效的手段。特别地，该工作发现系统增益-耗散参数改变时，拓扑边界模式会发生PT对称性自发破缺的相变，伴随着奇异点（exceptional point，简称EP）的出现。在PT对称性破缺时，拓扑边界模式的本征能量不再是实数，同时具有非对称的模式分布。

此外，该工作研究了非厄米情况下陈数的计算方法，得到了系统的相图。该系统中不同相对应的陈数有直观的几何描述。如图2a所示，系统二维布里渊区可以映射到三维空间中的一个闭合球面S，系统的带隙关闭点是该三维空间的一个圆L。球面S包含圆L时为非厄米陈绝缘体相，陈数为1，对应图2b中的红色区域；圆L在球面S外时为非厄米传统绝缘体相，陈数为0，对应图2b的蓝色区域；在图2b中的灰色区域，系统带隙关闭，出现EP点，此时无法用陈数进行描述。

图2.系统拓扑的几何理解和相图。（a）为系统二维布里渊区映射得到的球面。下图为上图的下半部分（h₃<0）。（b）为系统相图。红色为非厄米陈绝缘体相，蓝色为非厄米传统绝缘体相。灰色区域系统带隙关闭，出现EP点

该工作的结论同样也适用于没有增益、只有单纯耗散的系统。而耗散在光学系统、原子系统、光力系统等常见物理系统中是普遍存在的。该工作为利用增益耗散控制非厄米拓扑效应，以及研究高维拓扑系统中的PT相变奠定了基础，也为实现拓扑光学器件等实际应用提供了重要思路。

近日，该研究工作以“增益或损失导致的杂化趋肤-拓扑效应”（Gain-Loss-Induced Hybrid Skin-Topological Effect）为题的论文发表在国际物理学期刊《物理评论快报》（Physical Review Letters）。

论文第一作者为清华大学物理系2020级博士生李耀华，通讯作者为清华大学物理系刘永椿副教授。该研究工作得到了国家自然科学基金委、科技部、清华大学低维量子物理国家重点实验室、量子信息前沿科学中心和广东省科技厅的资助。