清华大学数学中心高鸿灏合作取得切触几何与辛几何领域新突破
2024/06/17
787近日，清华大学丘成桐数学科学中心助理教授高鸿灏与合作者在切触几何与辛几何领域取得新突破，团队在拉格朗日填充的分类问题上取得具有重要影响的原创性成果。
恰当拉格朗日填充的分类是低维辛几何中的重要问题之一。1996年，雅科夫·埃利亚什伯格（Yakov Eliashberg）与列昂尼德·波尔捷罗维奇（ Leonid Polterovich）曾给出了勒让德平凡结的完备分类，是此类问题的首个结果。此后，数学家们在填充分类问题上取得了一些进展，构造了诸多拉格朗日填充的例子。数学家们发现对于一个固定的勒让德链环所得到的拉格朗日填充的个数总是有限多个，于是猜测任意勒让德链环所界定的拉格朗日填充的个数总是有限的。2022年，罗杰·卡萨尔斯和高鸿灏合作证否了这一猜想。他们结合了微局部层、丛代数、勒让德环路等多种技术手段，证明了大量勒让德链环都可以界定无穷多个拉格朗日填充，同时揭示了拉格朗日填充与丛代数种子之间存在潜在的联系。这一成果以“无穷多个拉格朗日填充”（Infinitely many Lagrangian fillings）为题发表于《数学年刊》（Annals of Mathematics）2022第一期。
而在最新进展中，研究团队进一步证实了拉格朗日填充与丛代数种子之间潜在的对应关系。固定一个勒让德链环，如果其不变量组成的模空间具有丛代数结构，根据辛场论的构造，则该链环所界定的一个恰当拉格朗日填充可以诱导一个丛代数种子。团队证明了以上对应中满射的部分，即每一个丛代数种子均由一个恰当拉格朗日填充诱导所得。
实现这一结果的基本思路是将代数上的丛变异构造对应至几何上的拉格朗日手术。其中，代数操作可以任意进行，而不加限制地重复几何操作则会产生浸入点，从而被迫停止。文章引入箭图上的势能函数，记录几何操作过程中产生的交点，从而在浸入点出现前，通过适当的汉密尔顿同痕变换，避免浸入点的产生，由此可以实现代数操作与几何操作的对应。这一结果完成了拉格朗日填充的完备分类的关键一步，对于理解低维辛流形的几何性质有着重要的意义。
拉格朗日填充（图左）与其对应的丛代数种子（图右）
相关研究成果以“每个丛代数种子对应一个拉格朗日填充”（A Lagrangian filling for every cluster seed）为题发表于5月出版的《数学新进展》（Inventiones mathematicae）上。该论文由高鸿灏与美国加州大学戴维斯分校教授罗杰·卡萨尔斯（Roger Casals）共同合作完成。
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