理解材料本构关系在极端条件下对先进金属和超合金进行建模、设计和实际应用至关重要。目前，大多数本构模型都是唯象的。虽然晶体塑性有限元（CPFE）建模能够在微观尺度纳入物理方程，但高昂的计算成本使其在工程领域的应用变得困难。传统力学研究往往依赖于理论分析、数值模拟和实验观察的结合。然而，这些方法经常面临诸如高昂的计算成本、较强的模型假设等处理高维参数空间、复杂多尺度耦合和非线性实验数据的挑战。人工智能（AI）和深度学习（DL）技术的引入将力学研究从一个模型驱动方法转变为数据驱动的新范式。当前迫切需要开发一种多尺度神经网络本构代理模型，以提高效率并解决历史依赖问题。

近日，清华大学航院刘应华教授团队提出了一种多尺度自回归物理指导的深度学习（MRPGNN）模型。该模型通过基于物理的更新方程传播，在有限变形条件下，求解滑移系旋转、分切应力、背应力、各向同性硬化项以及描述位错硬化的状态变量的演化。MRPGNN采用初始状态与宏观加载历史作为输入，所有物理量在滑移系随加载历史的演化作为输出。相比CPFE建模，研究团队所提出的MRPGNN模型效率提升了两个数量级，并且能够有效消除多尺度全连接神经网络（MFCNN）解决历史依赖性时存在的固有累积误差。为了验证MRPGNN模型的鲁棒性并评估其实际应用潜力，研究团队选取了薄膜冷却孔（FCH）结构件进行验证。结果表明，MRPGNN模型具有较高的预测精度和稳定性。未来，MRPGNN模型有望与更先进的计算技术深度融合，通过在深度学习框架中修改更新方程，引入更复杂的变形机制（如位错攀升、扩散蠕变等），从而进一步探索多尺度本构关系。

图1.基于晶体塑性框架的MRPGNN示意图

图2.基于晶体塑性框架的MFCNN示意图

训练MFCNN用于对输出变量进行具有历史依赖性的预测。使用全连接神经网络来处理历史依赖问题需要分离训练与预测过程。在训练阶段，网络通过输入上一时间步的物理量（包括每个滑移系上的微观变量以及宏观加载条件）来预测滑移增量，随后将这些预测值与标签值进行比较，以此调整网络参数。

图3.多尺度自回归物理指导的循环神经网络计算滑移系上分切应力示意图

尽管各滑移系上的分切应力可通过宏观柯西应力张量与取向因子的双点积计算得到，但取向因子本身需要更新（即当前时间步的取值由上一时间步的取向因子叠加该时间步增量内的取向因子增量得到）。随后，分切应力不会被作为输入传入MRPGNN参与下一轮迭代，但仍会在代码中予以存储。这一设计选择的优势在于，可使程序独立完成全部计算，无需人工开展后处理。

训练MRPGNN用于对输出变量开展具有历史依赖性的预测。在递归预测阶段，当前时间步的输出会进行递归反馈。在神经网络输出通过物理引导方程完成对所有激活滑移系微观量的更新后，更新后的微观量会被作为下一次预测的输入。

图4.MRPGNN和MFCNN计算精度的对比。（a）分切应力（b）背应力（c）各项同性硬化项（d）描述位错密度的状态变量

研究团队新提出的MRPGNN框架可以有效消除累积误差。新提出的深度学习框架用于带孔方板的宏微观预测，并且在宏观构件中使用神经网络预测的分切应力与使用晶体塑性有限元计算得到的分切应力进行了对比。深度学习框架代替晶体塑性迭代求解滑移增量，计算效率提高了2个数量级。

研究成果以“有限变形条件下预测晶体塑性微观演化的多尺度物理指导深度学习框架”（A multiscale physics guided deep learning framework for predicting microscopic evolution of crystal plasticity considering finite deformations）为题，于5月25日发表于《固体力学与物理学杂志》（Journal of the Mechanics and Physics of Solids）。

清华大学航院2023级博士生刘伟为论文第一作者；清华大学航院2021级博士生翁焕博、教授刘应华为论文共同通讯作者。论文共同作者还包括清华大学航院副教授崔一南。研究得到国家自然科学基金重点项目的支持。