量子材料中的电子波函数不仅决定能量和动量等基本性质，也蕴含着重要的几何信息。近年来，由量子度规和贝里曲率刻画的量子几何，已成为理解反常霍尔效应、非线性输运、平带超导和关联拓扑态等新奇物性的关键概念。其中，量子度规反映量子态在希尔伯特空间中的“距离”，与材料的光电响应、超流刚度和相互作用效应密切相关。

以往关于量子几何的研究主要集中在周期性晶体中。相比之下，对准晶这类无平移周期性但具有确定性长程序的非周期体系，量子度规将呈现怎样的行为仍缺乏系统认识。准周期体系具有分形能谱和多重分形临界波函数，其电子态性质介于扩展态与局域态之间，展现出特殊的关联特征。因此，一个自然的问题是：准周期体系中特有的谱分形性和波函数临界性，是否会在量子几何中表现出独特的谱结构？

近日，北京大学物理学院黄华卿课题组围绕这一问题开展研究，系统揭示了一维准晶体系中量子度规谱的层级结构及其标度规律。研究团队以一维非对角Fibonacci链为代表性模型，利用适用于无平移对称体系的实空间量子几何张量公式，计算了量子度规随费米能级变化的行为。结果发现，当费米能级穿过Fibonacci链的分形能谱时，量子度规会在不同能隙附近显著起伏，并呈现出与Fibonacci自相似结构相对应的层级规律（如图1a）。这表明，准晶能谱的分形组织方式会直接反映到其量子度规随费米能级变化的层级结构中。

图1 Fibonacci链中量子度规随费米能级变化的层级结构，以及量子度规与谱隙大小之间的反幂律关系

进一步分析表明，量子度规的层级结构与能谱中的谱隙大小密切相关。当费米能级位于更小的谱隙中时，量子度规通常会取更大的数值，并与谱隙大小之间呈现反幂律标度关系（如图1b）。其物理图像可理解为：小谱隙两侧的占据态与未占据态往往形成具有较大空间分离的成键-反成键态对，相关位置算符矩阵元显著增强，从而导致量子度规在这些谱隙附近产生强烈响应。

图2 Fibonacci链的重整化群变换及其分形能谱和量子度规层级结构示意图

为了揭示上述标度行为的理论根源，研究团队进一步发展了基于实空间重整化群的分析方法。Fibonacci链具有内在的自相似结构，其能谱可以通过原子型和分子型两类重整化群变换逐级生成（如图2）。研究发现，这些变换不仅能够再现能谱的分形层级，也保持了波函数的主要结构，从而使量子度规在不同能谱层级之间满足相应的标度关系。基于这一框架，团队解析推导出量子度规与谱隙大小之间的幂律关系，阐明了量子几何、谱分形性和准周期临界波函数之间的定量联系。

为检验上述量子度规-谱隙标度关系是否具有普适性，研究团队还考察了另一类典型准周期体系Aubry-André-Harper模型。该模型可通过调节准周期势强度在扩展相、临界点和局域相之间转变。计算结果显示，在扩展相和局域相中，量子度规与谱隙大小之间并不存在显著的标度关联；而在临界点处，量子度规则呈现出与Fibonacci链相似的反幂律标度行为（如图3）。这说明，量子度规谱的层级标度并非某一具体模型的偶然特征，而是准周期临界性的普适几何标志。

图3 Aubry-André-Harper模型中扩展相、临界点和局域相的量子度规—谱隙关系对比

这项工作系统揭示了准周期体系中量子几何谱的层级结构，并建立了量子度规、能谱分形性和波函数临界性之间的定量联系。研究表明，量子度规可以作为探测准周期临界现象的灵敏几何指标，也为理解非周期体系中的量子几何效应提供了新的理论框架。由于量子度规与超流刚度、输运响应等物理量密切相关，该结果也为未来在超导响应、输运测量以及量子模拟平台中探测准周期量子几何效应提供了可能路径。

相关成果以“Hierarchical Structures of Quantum Geometric Spectrum in Quasicrystals：A Renormalization-Group Study”为题，于2026年7月7日在线发表于《物理评论快报》（Physical Review Letters）。北京大学物理学院本科生王俊迪、博士研究生陈宇骁为论文共同第一作者，黄华卿为论文通讯作者。本项研究得到了国家重点研发计划、国家自然科学基金、物理学院学科交叉专项、基础学科拔尖学生培养计划2.0研究项目的支持，并获得北京大学高性能计算平台和国家超级计算天津中心的计算资源支持