北京大学物理学院陈昱安课题组为格点系统中的高形式对称性反常建立了微观定义和可计算判据，并揭示其与量子态、“在位”实现和拓扑激发广义统计之间的联系。

雪花旋转一定角度后仍与原来一样，这是人们熟悉的对称性。在量子世界中，有些对称操作并非作用于全局，而是在线、曲面等区域操作，物理学家称之为“高形式对称性”。它广泛存在于规范理论、自旋液体、拓扑量子物态和量子纠错码中。但其长期缺少一个微观判据：如何从格点模型判断对称性是否“反常”？近日，陈昱安课题组与合作者从局域量子操作出发，给出了反常的微观定义与可计算指标，并把它与量子态约束、对称性的“在位”实现和高维拓扑激发统计联系起来。

在物理学中，“反常”是指一个全局对称性在整个系统上可以成立，但当试图让它在不同位置独立变化，也就是把它“规范化”时，可能出现无法自洽的冲突。它会对系统可能出现的基态施加强约束，排除某些保持对称且短程纠缠的普通基态。团队把沿闭合线或曲面实施的高形式对称操作“切开”，只让它作用于有限区域；产生的偏差只能留在边界附近。再逐步降低边界维数，便得到一个不依赖截取方式和局域细节的稳定相位。该相位可直接由格点对称算符计算，构成判断反常的微观指标。在二维有限1-形式对称性中，团队证明该指标准确刻画了无法一致规范化的障碍。若指标非平凡，系统必须通过对称性破缺、无能隙激发或拓扑序回应反常。

研究还把高形式反常与膜状激发的统计联系起来。在二维空间，任意子交换后会留下不同于玻色子和费米子的相位；团队进一步追问：更高维的膜状激发能否出现类似现象？在四个空间维度的理论格点模型中，他们设计了一套闭合局域操作，使膜回到原有形状，而量子态保留稳定相位。该相位可作为膜统计的微观指标，并出现由庞特里亚金类刻画的“庞特里亚金统计”。这说明膜的广义统计可理解为高形式反常在边界上的表现。

对普通内部对称性而言，“在位”意味着整体操作可拆成各格点上的局域操作。直觉上，只有无反常的对称性才能在位实现；团队却发现，高形式对称性更为微妙。对二维有限1-形式对称性，能否实现为在位形式，不取决于原始反常是否完全消失，而取决于它经过特定降维映射后是否为零。这一“当且仅当”判据把格点模型中的在位性，与场论中只在较低维子空间规范化的“更高规范化”联系起来。

三项工作分别回答了如何在格点上识别高形式反常、膜状激发可具有怎样的广义统计，以及何时能把高形式对称性转化为在位形式，共同建立了连接微观格点模型与连续场论的框架。相关方法有助于理解自旋液体、拓扑量子物态和量子纠错码中的量子约束，也为判断非平庸量子物态提供了新工具。

三篇论文均发表在Physical Review Letters上，北京大学物理学院本科生冯逸韬为三篇论文的第一作者。第一篇的通讯作者为Ryohei Kobayashi、陈昱安、Shinsei Ryu，第二篇的通讯作者为陈昱安，第三篇的通讯作者为Ryohei Kobayashi。研究工作得到了国家自然科学基金委员会、北京大学的支持。