近日，上海交通大学数学科学学院徐振礼科研团队在计算数学权威期刊 Numerische Mathematik 上发表了题为“ A fast spectral sum-of-Gaussians method for electrostatic summation in quasi-2D systems”的53页长文，提出了计算准二维库仑系统的快速谱高斯和算法。该工作为二维材料库仑体系的高效、高精度模拟提供了关键的工具。

准二维系统（Quasi-2D systems）是指在两个平面方向上具有均相性，而在垂直方向上非均相或受到纳米尺度限制的粒子体系。虽然这类体系在几何结构上接近二维，但其中的粒子相互作用仍然发生在真实三维空间中，因此既保留了二维材料的强界面效应和各向异性特征，又受限于长程作用的高计算复杂度。这类体系在半导体物理与先进微电子器件的研究中具有极为典型的代表性。随着半导体器件尺寸微缩至纳米节点，在诸如半导体异质结界面处的二维电子气、二维材料场效应晶体管以及超薄体器件中，载流子常常被强电场或材料界面严格限制在几纳米甚至单原子层厚度内，而在平面的两个维度上保持较大的空间延展性。准确计算纳米受限准二维体系中的静电相互作用，对于理解二维材料的电学性质、界面输运、能量存储机制以及纳米尺度调控过程具有重要意义。

对准二维库仑系统进行高精度数值模拟具有极大的挑战性。传统计算方法通常依赖全周期近似与Ewald谱方法相结合。对于极端各向异性的“狭窄体系”，也就是周期方向尺寸远大于非周期方向厚度的扁平体系，传统方法往往需要在非周期方向引入大尺寸的真空层以减弱“人为周期性”带来的伪影。随着体系宽深比增大，所需真空层也会显著增加，从而带来很高的计算开销。对于大规模、复杂的二维材料和纳米受限体系而言，这一问题已经成为限制模拟精度和计算规模的重要因素。

该科研团队提出快速谱高斯和算法创新性地利用库仑核的高斯和（Sum-of-Gaussians, SOG）分解代替经典的Ewald分解，将静电相互作用分解为近程、中程与长程三个部分。其中，局域的近程相互作用在实空间中截断计算；中程部分只需使用少量真空层填充的全周期近似完成计算；对最具挑战性的远程部分，则在周期方向继续使用傅里叶基进行谱计算，而在非周期方向引入切比雪夫多项式插值与反插值。这样的混合代理点策略避免了传统 Ewald 谱方法对大量真空层填充的依赖，特别适合处理宽深比很大的准二维周期体系。对于二维材料模拟而言，这意味着研究人员可以在不显著增加垂直方向计算网格的情况下，准确描述真实三维空间中的长程静电相互作用，从而为纳米受限二维材料体系的大规模模拟提供更高效的计算工具。

图1：快速谱高斯和方法计算狭窄准二维系统静电相互作用的示意图。

该研究对所发展的快速谱高斯和方法进行了严格误差分析，明确给出了误差随各类算法参数变化的衰减规律，并提出了一套基于目标精度的参数选择策略。这一结果不仅为算法的可靠性提供了数学保证，也为实际计算中的参数设置提供了清晰指导。对基于分子动力学或蒙特卡洛模拟的大规模材料计算而言，这种带有误差控制和参数选择准则的快速算法具有很强的实用价值。本文在立方体体系及极具挑战性的狭窄准二维体系上进行了系统的数值验证，其中γ用以量化体系的宽深比。图2的测试结果显示，模拟结果与本文的误差估计与衰减速度分析高度一致，并且即使在极度狭窄体系中，算法在非周期方向也仅需少量的切比雪夫代理点即可达到高精度，呈现近似线性的计算复杂度。值得注意的是，随着宽深比增加，非周期方向所需的代理点数反而呈现下降趋势。在面密度保持一致的条件下，常规精度下极度狭窄体系的计算甚至快于立方体体系；即使在极高精度要求下，极度狭窄体系（宽深比103.5:1）的计算开销仍然可控，不超过简单立方体体系耗时的两倍。这一结果表明，SOG快速谱方法在处理二维材料和层状界面体系中常见的扁平几何结构时具有明显优势，有效缓解了“体系越狭窄，计算越困难”的传统计算瓶颈。

图2：(a-b) 不同宽深比的狭窄准二维周期体系的静电计算结果（点）与非周期方向代理点衰减速度（线）的对比。宽深比设置为γ=100,500和1000。(c) 立方体体系与 (d) 极度狭窄体系随体系增大的精度及计算时间变化。立方体体系宽深比恒定为1，而极度狭窄体系保持面密度一致，宽深比γ由102随体系逐渐增大至103.5。

快速谱高斯和方法为准二维库仑系统提供了一种具有严格误差控制的高效计算工具，在二维器件仿真中有重要的应用价值。一个有趣且重要的潜在应用方向是半导体材料的模拟。特别是在极薄尺寸的先进半导体器件（如二维材料场效应晶体管）中，结合核独立高斯和逼近等技术以处理更复杂的相互作用核，该方法有望攻克复杂镜像边界下的电荷耦合计算瓶颈，深入揭示纳米尺度下的电荷捕获与界面极化现象，为高性能半导体器件的性能调控和架构设计提供高效可靠的计算支撑。

Numerische Mathematik是计算数学与数值分析领域极具影响力的顶级权威期刊，致力于发表最具开创性和数学严谨性的重大研究成果，在国际学术界享有极高的学术声誉。近几年，该联合团队针对准二维系统长程计算存在的效率与内存瓶颈，在快速算法、高性能计算和机器学习等方面做出了系列的成果，在SIAM J. Sci. Comput., Appl. Comput. Harmon. Anal.和Phys. Rev. Lett.等期刊发表了多篇文章，为准二维体系的大规模分子动力学模拟和材料设计提供了坚实的算法基础与底层理论支撑。