滤波问题的核心是利用有噪声的观测器，对一个随机动力系统的状态进行准确和实时的估计。在复杂的工程环境中，利用滤波系统得到的实时追踪和定位数据，将为后续对目标进行更为精准的操作和控制提供重要的支持。作为现代控制理论的重要分支，滤波问题及其解法在国防工业、航空航天以及信号处理、图像传输等领域有着重要的应用。

在传统的滤波问题中，人们往往假设滤波系统中状态噪声与观测噪声相互独立。而随着科技水平的进步，人们发现状态噪声与观测噪声很可能具有相关性。因此，该研究聚焦此类噪声相关情形的滤波系统，设计和提出了一种能够实现对低维问题进行准确实时求解的滤波算法，填补了当前自动控制领域对噪声相关非线性滤波问题实时算法的研究空白，并让滤波问题中系统状态条件分布所满足的DMZ方程的实时求解算法得到进一步完善。

近期，清华大学数学科学系丘成栋教授合作利用厄米特-伽辽金（Hermite-Galerkin）谱方法直接求解滤波问题系统状态条件密度函数所满足的随机偏微分方程（DMZ方程），给出了一种新型的求解噪声相关情形非线性滤波问题的数值算法。在理论上，该研究给出了该算法收敛性的严格证明；在数值实验中，通过引入伊藤-射流（Ito-Jet）格式，该算法有力地提升了现有的谱方法在求解随机偏微分方程中的求解效率和稳定性，从而实现了对噪声相关非线性滤波问题的准确实时求解。

图1.算法对系统状态条件密度函数的拟合效果

在应用场景中，相比传统的粒子滤波算法，该研究提出的算法在对系统状态给出准确估计的同时，能够有效减少所需的计算时间和计算量，从而大幅提升算法求解滤波问题时的效率，让滤波系统在新的观测数据到来时，更加快速地做出反应，提升系统对实际数据的整体处理能力。在计算理论中，该研究中引入的伊藤-射流（Ito-Jet）格式显著提升了传统谱方法的稳定性，也将再次启发计算数学界在求解随机微分方程时，关注伊藤（Ito）随机积分的几何结构，从而提升离散格式对方程的数值逼近效果，得到更为准确稳定的数值解。

图2.算法对二维非线性滤波系统的追踪效果

在实现了对低维噪声相关非线性滤波问题的准确实时求解后，该研究未来的一个重要发展方向是提高谱方法在高维问题上的求解效率。研究团队也将在此基础上通过结合人工智能领域的神经网络技术，进一步提升基于偏微分方程的数值算法在高维滤波问题上的可行性，从而让此类算法更加适应当前工业界面对的维度更高、更复杂的滤波系统。

相关研究成果近期以“基于厄米特-伽辽金谱方法的噪声相关非线性滤波算法”（Solving nonlinear filtering problems with correlated noise based on Hermite-Galerkinspectral method）为题，发表于国际自动控制联合会（International Federation of Automatic Control,IFAC）主办期刊《自动化》（Automatica）。

清华大学数学科学系2020级博士生孙泽钜为论文第一作者，丘成栋为论文通讯作者。研究得到了清华大学教育基金会的支持。